直线与圆的位置关系难不难？教你如何攻克中考几何疑难点

脚本骆驼

中考数学几何内容，大体来说主要集中在三角形、四边形、圆这三大部分内容。很多考生对三角形和四边形相关知识内容比较了解，但对圆的相关知识内掌握的却不够熟练。

通过研究近几年的中考数学试卷，特别是对照2017年的中考数学试卷，我们可以发现在全国很多地方的中考数学，圆这一块知识内容依旧占据重要的位置，是中考数学几何热点之一。

圆这一章节知识点、定理等较多，如果不彻底掌握好，在解题时候很容易造成知识点“混乱”，从而丢失分数。

为了能更好帮助大家中考复习，学好圆这一块知识内容，今天我们就一起来讲讲直线和圆的位置关系相关的知识点、定理等等，通过典型例题分析和讲解，希望能帮助大家提高学习成绩。

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

1、相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

2、相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

3、相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

中考数学，直线与圆的位置关系，典型例题分析1：

如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=2/3，求BE的长．

考点分析：

切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；计算题。

题干分析：

（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；

（2）根据切线的性质得到ED=EB，OD⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=OB/BE=2/3，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到，

CD/CB=OD/BE=OB/BE=2/3求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长。

解题反思：

本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质。

直线与圆的位置关系，从数量关系上我们可以这么去看待：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交<=>d<r；

直线l与⊙O相切<=>d=r；

直线l与⊙O相离<=>d>r；

根据直线与圆的位置关系，我们可以得到一些重要定理，如切线的性质和判定、三角形内切圆、切线长等相关知识点。

什么是切线？

在平面中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

那么如判定一条直线是不是切线？它有哪些性质呢？

切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

中考数学，直线与圆的位置关系，典型例题分析2：

已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．

（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．

（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．

考点分析：

切线的性质；平行四边形的性质．

题干分析：

（Ⅰ）由CD是⊙O的切线，C为切点，得到OC⊥CD，即∠OCD=90°由于四边形OABC是平行四边形，得到AB∥OC，即AD∥OC，根据平行四边形的性质即可得到结果；

（Ⅱ）如图，连接OB，则OB=OA=OC，由四边形OABC是平行四边形，得到OC=AB，△AOB是等边三角形，证得∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，根据垂径定理即可得到结果。

解题反思：

本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键。

掌握好切线长定理：

切线长:在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

什么是三角形的内切圆？

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

什么是三角形的内心？

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

中考数学，直线与圆的位置关系，典型例题分析3：

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．

考点分析：

切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；证明题。

题干分析：

（1）连接OC．欲证AD是⊙O的切线，只需证明OA⊥AD即可；

（2）连接BG．在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，从而求得AE=13；然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的对应边成比例求得AF=9.6，再利用圆周角定理证得Rt△ABG∽Rt△AEF，根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2，所以GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4．

解题反思：

本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可。